Klik hier om af te drukken.


Gemengde bewerking en het sommetje

De afgelopen weken kreeg ik, zoals waarschijnlijk velen in het land, een stortvloed aan foto’s en filmpjes binnen. Ze moesten de ondraaglijkheid van de coronamaatregelen wat verlichten. Tussen alle flauwe grappen en grollen was er ineens het sommetje. De oplossing bleek een gemengde bewerking.

Het sommetje heeft een grap in zich, waardoor velen het juiste antwoord niet vonden. Anderen, die de grap wel ontdekten, gingen alsnog de fout in door de gemengde bewerking.

Gemengde bewerking

Een te eenvoudige definitie van een gemengde bewerking is: een gemengde bewerking is een sommetje met meerdere soorten bewerkingen. Het is een onduidelijke definitie. Tenzij je weet dat de soorten bewerkingen worteltrekken, vermenigvuldigen, delen, optellen etc. zijn.

5 x 5 : 2 + 8 – 3 =, is dus een gemengde bewerking. Overigens ook als het bijvoorbeeld 2 + 8 – 3 is of 5 +3 x 2

Gemengde bewerking volgorde

Een gemengde bewerking moet je in een bepaalde volgorde uitvoeren. In mijn lagere schooltijd begon je bij een som met machtsverheffen. Daarna volgde in volgorde van voorrang: vermenigvuldigen, delen, worteltrekken, optellen en aftrekken. Om de volgorde te onthouden kregen we als ezelbruggetje het zinnetje: Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord.

Met de opkomst van de computer en zakcalculators bleek het handiger een andere volgorde in te stellen. Die werd in 1992 ingesteld en gaat meer van links naar rechts, in plaats van schots en scheef zoekend naar de voorrangsbewerking. Bij de nieuwe volgorde hebben machtsverheffen en worteltrekken dezelfde waarden, evenals vermenigvuldigen en delen, en optellen en aftrekken.

De nieuwe volgorde van voorrang is: haakjes, machtsverheffen en worteltrekken, vermenigvuldigen en delen, en optellen en aftrekken. Bij de som 4 + 8 x 3 + (6 – 3) moet je dus eerst (6-3) berekenen, daarna 8 x 3 etc.

Het sommetje

Na de gegevens bij het sommetje in de header volgt een laatste tekening:

gemengde bewerking sommetje [1]

Het, met de gegevens uit de header, te berekenen sommetje.

Het is een gemengde bewerking. Daar gingen al veel mensen fout. Na de drie gegevens met een plusteken zagen ze in de vraagregel het vermenigvuldig teken niet. Ze telden daar ook op en kwamen, als ze de rest goed hadden gedaan, op 14.

Het antwoord is echter 43. Het leuke is dat het bij de berekening niet uitmaakt of je de oude of nieuwe voorrangsregels gebruikt. De meeste mensen gingen fout door de grap. Het jongetje draagt in de vraagregel een paar schoenen en twee ijsjes uit de gegevens.

De schoen = 5, jongetje = 5 en een ijsje = 2 zijn dus de waarden. In de vraagregel leidt dat tot de som schoen + jongetje met twee schoenen en twee ijsjes x een ijsje, oftewel 5 + (5 + 10 + 4) x 2 = 43. Eerst de som tussen haakjes, dan dat vermenigvuldigen en tenslotte de optelling met 5.

Kwestie van afspraken

Het is op zichzelf leuk iets te weten over de ontwikkeling van wiskunde. Zoals dat overigens over veel onderwerpen interessant is omdat het verklaart of op zijn minst verduidelijkt hoe en/of waarom iets nu is zoals het is.

De bewerkingsvoorrang is eenvoudig een afspraak. In het verleden heeft iemand voorgesteld dat het handig is een bepaalde volgorde te gebruiken. Als iedereen zich daarna aan de afspraak houdt is er niets aan de hand.

René Descartes stelde voor voorrang te geven aan vermenigvuldigen in een bewerking. Maar er zijn veel meer minder bekende wetenschappers geweest die invloed hadden op wiskundige notatie en voorrangsregels. Een vergeten Nederlander in een lange rij buitenlanders is daarbij bijvoorbeeld Gielis van der Hoecke.

Duidelijke voorrangsregels

Zoals gezegd kreeg ik op de lagere school de oude voorrangsregels van gemengde bewerking. De vroegste en meest duidelijke schriftelijke vastleggging daarvan is geschreven door Jacob Badon Ghijben [2] en Hendrik Strootman.

Ze werkten beiden als wiskunde leraar aan de Koninklijke Militaire Academie in Breda. Strootman later ook aan de Koninklijke Academie in Delft. Hun boekje, ‘Beginselen der Stelkunst’, uit 1838 was een leerboekje voor de militaire opleiding.

gemengde bewerking [3]

Uitleg gemende bewerking in Militair leerboek

Eerdere verwijzingen

Ghijben en Strootman waren duidelijk in het benoemen van de voorrangsregels. Hun wiskundige voorgangers gebruikten wel voorrangsregels, maar die waren toch vaak verstopt in hun uitleg.

Hun boeken waren veel ontoegankelijker, zeker voor wiskundige leken. Dat begint al met het boek ‘La Géométrie’ van René Descartes uit 1637. Ruim dertig jaar later schreef de Nederlandse zeevaart- en wiskundige Abraham de Graaf het boek ‘De beginselen van de algebra of stelkonst’. De ondertitel daarvan was ‘volgens de manier van Renatus Des Cartes’.

Nieuwe regels

En zo waren er later meer moeilijke boeken tot het boek van Ghijben en Strootman. Dat boek maakte geen einde aan de discussie over de voorrangsregels bij gemengde bewerking. De discussie laaide echter heftiger op in de tachtiger jaren met de opkomst van computer en zakrekenmachine. Die apparaten werken meer liniair en gebruiken daarbij andere voorrangsregels, niet eens allemaal dezelfde.

In 1983 schreef Joost Klep, leraar Nederlands en Wiskunde, al een artikel over de problematiek van de voorrangsregels. En tien jaar later gebruikt Jan van den Brink voor zijn artikel de overduidelijke titel ‘worstelen met de zakrekenmachine’ om hetzelfde probleem te bespreken. Hoewel in sommige teksten staat onjuist dat de nieuwe regels in sinds 1992 gelden.

Invoering nieuwe regels

Er waren al enkele scholen die de nieuwe regels gebruikten. Maar doorvoering van regels moet volgens afspraak gebeuren, zoals ik hierboven schreef. Wanneer niet iedereen dezelfde regels hanteert kun je immers verschillende uitkomsten krijgen bij eenzelfde som. Dat was overigens het probleem met de zakrekenmachine: teveel verschillende uitkomsten.

Ed de Moor schrijft in 1995 in het Tijdschrift voor Nederlands Wiskundeonderwijs dat de er nog geen officieel besluit is genomen over de nieuwe regels. Uit latere artikelen blijkt dat de regels wel, maar wellicht niet officeel, worden gehanteerd. In 2013 vraagt een leraar Wiskunde zich  in het tijdschrift Euclides vertwijfeld af wie en wanneer besloot de oude regel af te schaffen.

Oftewel, wiskunde is een exacte wetenschap. Maar de organisatie is niet altijd even nauwkeurig.

Meer informatie: