Perfecte getallen

Perfecte getallen, het aantal groeit langzaam

‘Wist je dat er ook perfecte getallen zijn?’, merkt Gerrit op. Hij vertelde juist dat hij het bericht over de magische vierkanten en sudoku had gelezen. Vaag staat me iets bij over perfecte getallen, maar het is al te ver weggezakt.

‘Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som gelijk is aan zijn delers’, legt Gerrit uit. En dan weet ik het weer. Ik vond die uitleg altijd al een beetje onduidelijk. Dat vertel ik hem en ik draai de definitie om.

‘Een perfect getal is een getal dat deelbaar is door meerdere natuurlijke getallen, waarvan de som gelijk is aan dat perfecte getal’.

Gerrit vraagt waarom ik het omdraai. Ik zeg hem, ‘Ik vind perfecte getallen op priemgetallen lijken. Daarbij gaat de definitie ook uit van deling. Een priemgetal is alleen deelbaar door 1 en zichzelf. Je zou daarna kunnen zeggen dat de vermenigvuldiging gelijk is aan het priemgetal, waar dat bij de perfecte getallen een som is’.

Twaalf perfecte getallen

Thuis weet ik ineens weer waar ik waarschijnlijk over perfecte getallen las. In een oude uitgave van een tijdschrift. Ik dacht aan Modern Mechanix. Maar na even zoeken blijkt het een uitgave in 1953 van Scientific American. Ja, ja, dat is het voordeel van een goede indexering van mijn digitale archief.

In dat tijdschrift stond een artikel over perfecte getallen. Er waren lange tijd slechts twaalf van die getallen bekend. In 1952 ontdekte de Amerikaanse wiskundige Raphael Robinson er maar liefst vijf bij, met gebruik van een computer. Dat was de aanleiding voor het artikel.

Euclides van Alexandria

De Griek Euclides, die leefde rond 350 voor Christus, verwonderde zich als eerst over het getal 6. Dat getal is deelbaar door 1, 2 en 3. ‘Hé wat grappig’, zei hij waarschijnlijk tegen iedereen die het wilde horen, ‘als je 1, 2 en 3 optelt krijg je weer 6’.

Zijn Griekse collega’s bleken even enthousiast als Euclides. Hij vond zelf ook een volgend perfect getal. 28. Dat getal is deelbaar door 1, 2, 4, 7 en 14. De optelling van die getallen geeft dus weer 28. Hij had al een formule opgesteld voor priemgetallen. Met een kleine aanpassing daarvan vond hij de volgende twee perfecte getallen, respectievelijk 496 en 8128.

Het vijfde getal

Met de formule het volgende getal vinden bleek niet zo gemakkelijk. Het duurde 1800 jaar voor het vijfde getal werd gevonden, 33550336. Toen waren er al vele wiskundigen mee bezig geweest. Over dat vijfde perfecte getal werd slechts een vermoeden uitgesproken, schrijft Leonard Dickson in zijn boek over de geschiedenis van getallen.

Dickson ontdekte het vijfde getal in het manuscript ‘Codex Lat. Monac. 14908’, dat in twee delen verscheen in 1456 en 1461. Hij vond het manuscript overigens doordat er in de 19e eeuw al enkele wiskundigen over hadden geschreven.

De volgende perfecte getallen

De Fransman Marin Mersenne dacht rond 1600 een volgende reeks perfecte getallen te hebben gevonden. Hij schreef hierover naar René Descartes. In die tijd moest alles vanzelfsprekend nog met trial-and-error worden uitgevoerd. Met die methode vonden zijn tijdgenoten bij het narekenen van zijn vondst geen perfecte getallen, maar priemgetallen. Pas in de 20e eeuw kon met computers worden berekend dat de getallen van Mersenne niet perfect waren.

In 1588, het geboortejaar van Mersenne, vond de Italiaanse wiskundige Pietro Cataldi echter al een zesde en zevende perfecte getal. Het zijn respectievelijk 8589869056 en 137438691328.

Grote perfecte getallen

Na Cataldi duurde het weer 200 jaar voor Leonhard Euler, die ook bekend werd met zijn magische vierkanten, het achtste perfecte getal vond. Het is dan al een getal met 19 cijfers, 2305843008139952128. De Rus Ivan Pervushin berekende daarna het negende perfecte getal. Dat getal ligt dan al boven een hexiljoen, een getal met 36 nullen.

Het achtste perfecte getal was nog net te doen. Aan wat er daarna komt waag ik me hier niet. Ik vind een bankrekeningnummer soms al te lang.

Raphael Robinson en de computer

Zoals gezegd duurde het tot 1952 voor er na de twaalfde door Raphael Robinson een volgend perfect getal werd gevonden. Scientif American schrijft over de werkwijze:

Op 30 januari 1952 legde Robinson het probleem voor aan de Western Automatic Computer van het National Bureau of Standards, kortweg SWAC. Dit is een supersnelle machine: het kan 36 binaire cijfers optellen in 64 miljoenste van een seconde (zie verder het artikel (PDF ).

Onderzoek

Zoals gezegd waren er in de tijd van Mersenne al veel wiskundigen bezig met een zoektocht naar perfecte getallen. Het verwondert me daarom niet als ik nu weer talrijke onderzoeken vind. Het aantal ‘volmaakte’ getallen ligt inmiddels op 52. Maar de huidige wiskundigen zijn vooral bezig er meer te vinden met formules.

Of ze proberen met hun wetenschappelijke reis via de perfecte getallen nieuwe getal-fenomenen te ontdekken. Ik vertelde al eens dat ik getallenraadsels en wiskundige spelletjes leuk vind. Perfecte getallen vind ik mede daarom ook interessant. Maar niet om er verder zelf mee bezig te zijn…

Het kan wel. Het 41ste getal werd gevonden door Josh Findley op zijn thuiscomputer. Hij gebruikte software van George Woltman en Scott Kurowski en een wereldwijd netwerk van 240.000 computers. Maar ik kan met zekerheid zeggen, ‘het 53ste perfect getal komt niet van mij (hum)’.

Aanvullende informatie

  • Enkele inleidende documenten over perfecte getallen:
    • Een tweedelige inleiding door het Education Resources Information Center (ERIC), getiteld: ‘Just Perfect’ (PDF )
    • John Voigt schreef in 1998 een elementaire inleiding (PDF )
    • Tom Seinster hield het bij perfecte getallen in 2001 (PDF )
    • Vladimir Shevelev keek in 2012 ook naar bijna perfecte getallen (PDF )
  • Het boek ‘Professor Stewart’s Incredible Numbers’ uit 2015 van professor Ian Stewart, waarvan ik een pdf-link vond op internet. Stewart is een enthousiast populisator van wiskunde
  • Diana French schreef in 2010 een artikel over Perfect Numbers. Ze vertelt daarin grappig dat ze een zesje is, want dat is perfecter dan 10 (PDF )

Over de zoektocht

  • In 1911 schreef Ralph Ernest Powers een artikel over het door hem gevonden 11de getal (PDF )
  • George Woltman en Scott Kurowski staan vermeld bij de meeste vondsten, waarschijnlijk door hun software. Zij schreven o.a. over de zoektocht naar:
    • het 38ste getal (PDF )
    • en het 45ste en 46ste getal (PDF )
  • Een excel-bestand met een lijst van alle getallen, met jaartal en ontdekker(s) (direct in je download-map
  • Interessante verhalen bij vrijwel elk volmaakte getal is te vinden op de website Mersenne

De afbeelding in de header is een bewerkt detail van de omslag van het boek ‘A Wealth of Numbers  – An Anthology of 500 Years of Popular Mathematics Writing’ uit 2012 van Benjamin Wardhaugh

Print deze pagina
Bovenstaand bericht is geschreven op 27 augustus 2020 door in de categorie 2020, Algemeen

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

*

code




Een willekeurig bericht

Ik schrijf op deze site over allerlei onderwerpen. Soms is het heel persoonlijk, soms vooral informatief of beschouwend. Hieronder een willekeurig bericht uit ruim 1500 berichten.