Ik vertelde al eens dat ik van rekenpuzzels, getallenraadsels en wiskundige spelletjes houd. Tijdens onze wekelijks wandeling lopen Pieter, Johan, Gerrit en ik dit keer langs de Vecht van Loenen naar Vreeland en terug langs de andere oever. Pieter ziet een aanleiding om te vragen of we van rekenpuzzels houden. Vanzelfsprekend ben ik benieuwd.

‘Een boer heeft 3000 maiskolven en 1 kameel’, begint Pieter de rekenpuzzel. ‘De boer moet de maiskolven met de kameel naar een markt 1000 km verderop brengen. Probleem is dat de kameel maximaal 1000 maiskolven per keer kan dragen en dat het 1000 maiskolven eet per 1000 km. Hoe lost de boer het op? En hoeveel maiskolven krijgt hij uiteindelijk op de markt?’

Rekenpuzzels, liefst op papier

‘Zulke rekenpuzzels doe ik het liefst met papier’, zeg ik. Johan merkt op dat ook hij liever met papier puzzelt. Maar we doen een poging. En die moet vanzelfsprekend zijn dat de boer niet in één keer naar de markt loopt. Hij brengt de maiskolven in etappes naar de markt. En hij komt daar dan met veel minder kolven aan door de etende kameel..

‘Ja, dat is inderdaad hoe ik het heb opgelost’, vertelt Pieter. ‘Hij moet enkele keren heen en weer lopen en houdt uiteindelijk nog verrassend veel kolven over’.

‘Met 1000 maiskolven naar een markt 1000 km verderop met een kameel die over die afstand 1000 maiskolven eet’, herhaal ik de rekenpuzzel. ‘Bij 3000 en 1000 zal je waarschijnlijk met daar bijhorende afstanden moeten werken, bijvoorbeeld eerst een tussenstop maken op 300 meter. Ik ga er thuis weleens naar kijken met een papiertje erbij’.

Rekenpuzzels, ontspullen en een oplossing

Ik ben aan het ontspullen en bracht al 27 bananendozen met boeken naar een antiquariaat en een kringloop in de buurt. In een ander bericht kom ik daar op terug. De weinige boeken die ik bewaar zijn onder andere alle boeken met rekenpuzzels en dergelijke.

Thuisgekomen van de wandeling pak ik eerst een papiertje. Ik schrijf de belangrijkste gegevens op, waarbij het getal 1000 een hoofdrol heeft. En na vijf minuten puzzelen heb ik het antwoord. Daarvoor veranderde ik de 1000 maiskolven die de kameel eet in 1 maiskolf per kilometer, dus 2 bij een heen-en-terug reis.

Klassieke rekenpuzzels

Rekenpuzzels zoals die van de boer en kameel behoren tot de klassieke puzzels. Ze zijn vaak al oud en eeuwenlang doorgegeven. Er bestaan honderden van die puzzels en er is vaak geen bedenker bekend. Hedendaagse puzzelmakers passen eenvoudig het verhaal aan om tot een nieuwe puzzel te komen met eventueel een nieuwe berekening.

In plaats van een boer en kameel krijg je dan bijvoorbeeld rekenpuzzels met een schaapherder en een wolf of iets dergelijks. Een variant kan overigens ook een Bol-medewerker zijn die pakjes moet verplaatsen en er telkens eentje laat vallen. Het gaat uiteindelijk om fantasie rond een sommetje.

De bedenkers van rekenpuzzels

Veel van de klassieke rekenpuzzels oftewel wiskundige raadsels vinden hun oorsprong in de Arabische, Perzische en Griekse wiskundige traditie. Wiskundigen als de Perzische grondlegger van de algebra, Mohammad ibn Moesa al-Chwarizmi, speelden een belangrijke rol bij de ontwikkeling van wiskundige problemen en rekenpuzzels.

In de Griekse wereld waren het wiskundigen als Pythagoras, Euclides en anderen die wiskundige raadsels in puzzelvorm maakten. Zij hielden van de complexe wiskundige problemen. En brachten die terug tot rekenpuzzels.

Rekenpuzzels, verschillende genres

Er zijn binnen de klassieke rekenpuzzels meerdere genres. Hieronder zijn bijvoorbeeld een mengpuzzel, een schaakprobleem, een logisch probleem, een verdwijnprobleem en een rekensom te onderscheiden.

De boer, de geit, de wolf en de kool

Deze komt met regelmaat terug in tijdschriften. Een boer moet een geit, een wolf en een kool over een rivier brengen. Hij heeft een boot waarmee hij slechts één van hen tegelijk kan meenemen. Het probleem is dat als de boer de wolf en de geit zonder toezicht achterlaat, de wolf de geit zal opeten. Maar als de boer de geit en de kool zonder toezicht achterlaat, zal de geit de kool opeten. Hoe kan de boer alles veilig over de rivier brengen?

De brug en de lantaarn

Vier personen moeten ’s nachts een brug oversteken, maar ze hebben slechts één lantaarn. De brug is oud en kan maximaal twee personen tegelijk dragen. En elke persoon loopt met een andere snelheid. Persoon 1 kan de brug in 1 minuut oversteken, persoon 2 in 2 minuten, persoon 3 in 5 minuten en persoon 4 in 10 minuten. Twee personen steken altijd over met de snelheid van de langzaamste persoon. Hoe kunnen ze allemaal binnen 17 minuten de brug oversteken?

De kisten met koekjes en snoepjes

Er zijn drie kisten. Een kist bevat koekjes, een andere snoepjes en in een derde liggen zowel koekjes als snoepjes. De etiketten op de kist kloppen niet. Een persoon mag slechts één kist openen om te zien wat erin zit. Hoe bepaal die persoon wat er in elke kist zit?

De matrozen en de kannibalen

Drie matrozen en drie kannibalen staan aan de ene kant van een rivier en moeten naar de overkant. Ze hebben een boot die maximaal twee personen kan dragen. Als er op enig moment meer kannibalen aan één kant van de rivier zijn dan matrozen, worden de matrozen opgegeten. Hoe kunnen ze veilig oversteken?

Het graan en de silo’s

Een boer heeft drie silo’s met graan. Hij verkoopt een hoeveelheid graan uit elk van de silo’s. Na elke verkoop haalt hij de helft van het overgebleven graan uit elke silo weg en gooit het weg. Na drie verkopen zijn de silo’s leeg. Hoeveel graan verkocht de boer uit elke silo?

Een variant is dat de boer zijn graan moet verdelen over de drie silo’s. Maar de silo’s mogen niet eenzelfde hoeveelheid graan bevatten en twee silo’s mogen niet meer graan bevatten dan de derde. Hoe kan de boer het graan verdelen zodat hij aan de twee voorwaarden voldoet?

De vaten met water en wijn

Een man heeft twee vaten van gelijke grootte, één is gevuld met water, de andere met wijn. Hij neemt een lepel wijn uit het wijnvat en giet het in het water. Vervolgens neem hij een lepel van het mengsel uit het water en giet het terug in het wijnvat. Wat is uiteindelijk groter: de hoeveelheid wijn in het water of de hoeveelheid water in de wijn?

De koningin en het paard

Op een schaakbord van 8×8 staat een koningin op een willekeurige plaats. Een paard begint vanaf een willekeurige plaats en probeert de koningin te vangen. Hoe kan het paard de koningin vangen, rekening houdend met de gewone schaakbewegingen van elk stuk?

Het touw om de aarde

Stel iemand spant een touw strak langs de evenaar om de aarde de evenaar. Daarna voegt de persoon 1 meter lengte toe aan het touw. Als je dit nieuwe, langere touw weer rond de aarde legt en het overal met stokjes ophoogt, hoe ver komt het nieuwe touw van de aarde af te liggen? Oftewel hoe lang moet een stokje zijn?

De oplossingen

De oplossing van het touw om de aarde schreef ik al in het bericht ‘wet van de grote getallen’. Ik wil niet direct alle oplossingen hier geven. Puzzel eerst eens wat. Die van de kisten met snoep doet me denken aan programma’s als ‘weekendmiljonairs’, met die koffertjes. Maar ik begin natuurlijk met de boer en de kameel.

De boer en kameel

rekenpuzzels – boer en kameel met maiskolven

Er zijn meerdere oplossingen. Bij de ene houdt de boer meer maiskolven over op de markt. De oplossing die ik vond is als volgt:

De boer werkt dus met opslagplaatsen op de route. Daarvan is de eerste op 200 meter van zijn beginpunt. Hij gaat er met 1000 maiskolven heen. Dat heenreis kost hem 200 maiskolven. Hij moet echter ook terug. Dus laat hij 600 maiskolven achter en neemt er 200 weer mee terug als voer voor de kameel.

Daarna loopt hij met weer 1000 maiskolven naar de opslag. Hij laat weer 600 kolven achter en gaat terug. Met de laatste 1000 kolven loopt hij weer naar de opslag en kan daar 800 toevoegen aan de voorraad, want hij hoeft niet terug.

Naar de volgende opslag

In de eerste opslag liggen nu 2000 maiskolven (600 + 600 + 800). Met die kolven loopt hij twee keer naar de volgende opslag op 335 meter. Bij de eerste keer kost hem dat, vanwege heen en terug lopen met de kameel, 670 maiskolven. Hij laat er slechts 330 achter. Bij de tweede keer loopt hij met 1000 kolven naar de tweede opslag. De kameel at er 335, dus heeft hij er nog 665 over. In de tweede opslag liggen dan 1000 kolven.

Tenslotte moet hij nog 465 meter naar de markt lopen met de overgebleven 1000 kolven. Onderweg eet de kameel er daarvan 465 op, dus bereikt de boer de markt met 535 maiskolven.

De drie kisten

De kisten met koekjes en snoepjes los je op door te redeneren met de informatie. Je opent de kist met het etiket ‘koekjes en snoepjes’. Omdat de etiketten fout zijn weet je al dat daar geen snoepjes en koekjes in zitten. In de geopende kist zie je snoepjes. Op de etiketten van de twee andere kisten staat dan nog ‘snoepjes’ en ‘koekjes’.

In de kist met etiket ‘koekjes’ kunnen geen koekjes liggen, want dat etiket klopt ook niet. Daar zitten dus koekjes en snoepjes in. En in de kist met het etiket ‘snoepjes’ liggen de koekjes.

Overige oplossingen

Ik ging kijken of ik in mijn boekjes of elders een betere oplossing kon vinden. Die vond ik niet. Maar ik ontdekte wel de site van Hans Hofstede. Daarop onderwijst hij over wiskunde. Hij heeft er echter ook goocheltrucjes, spelletjes en puzzelraadsels op staan… met oplossingen.

De puzzel van de boer en kameel heet bij hem ‘de kameel en de bananen’. Daarbij gaat het om 5000 bananen en de kameel kan er slechts 125 in één keer dragen. De som van zijn oplossing berekent hij van achter naar voren, dat is volgens hem makkelijker.

De matrozen en kannibalen heten bij Hofstede missionarissen en kannibalen. Zijn oplossing vind ik wat ingewikkeld uitgelegd. Maar hij behandelt het dus wel.

De koningin en de pion heeft bij Hofstede in iets andere invulling. Maar met de oplossing kun je ook eens naar bovenstaand puzzelraadsel kijken.

Vier personen en één lantaarn

Vier personen moeten een oude brug oversteken in het donker, maar ze hebben slechts één lantaarn. De brug is oud en kan maximaal twee personen tegelijk dragen. Elke persoon steekt de brug in een verschillende snelheid over:
Persoon A kan de brug in 1 minuut oversteken,
Persoon B in 2 minuten,
Persoon C in 5 minuten,
Persoon D in 10 minuten.

Wanneer twee personen samen oversteken, moeten ze zich verplaatsen met de snelheid van de langzaamste persoon. De lantaarn moet altijd met hen mee, en de vraag is: Hoe kunnen ze allemaal binnen 17 minuten de brug oversteken? Het handigste is dat alleen de twee snelste personen de terugweg nemen om geen tijd te verliezen. De oplossing is:
1. A en B steken samen over (2 minuten),
2. A gaat terug (1 minuut),
3. C en D steken samen over (10 minuten),
4. B gaat terug (2 minuten),
5. A en B steken samen over (2 minuten).
Dit is de snelste manier om alle vier de personen in 17 minuten de brug over te krijgen!