Regelmatig werd ik in mijn leven geconfronteerd met de wet van de grote getallen. Meestal op een leuke manier en vaak door anderen. Doorgaans doordat iets in het klein te overzien leek, maar tegenviel bij uitvoering en in het groot tegenviel.

Dan vroeg ik bijvoorbeeld een drukker om een kaart na het drukken in een brochure te plakken. Dat ging in het nabije verleden meestal nog handmatig. Hij deed het een paar keer: ‘brochure openen, kaart lijmen, opplakken, dichtvouwen en wegleggen’. Na het inplakken van 16 kaarten kwam hij op een gemiddelde van bijvoorbeeld 4 kaarten inplakken per minuut. Dat werd zijn uitgangspunt.

Het waren 15.000 brochures. De drie jongens die het uiteindelijk uitvoerden deden gemiddeld maar 2 kaarten per minuut. Toen ging de wet van de grote getallen werken. De benodigde tijd werd bij die jongens 125 uur in plaats van de 62,5 uur die de drukker na zijn steekproef had berekend. Een verschil van bijna 8 dagen of 2,5 dagen bij drie plakkers.

Wet van de grote getallen

Het is niet het beste voorbeeld van de wet van de grote getallen, waarvan er overigens meerdere zijn. De bekendste is ‘als je bij een telling een redelijke steekproef neemt, zal deze overeenkomen met een telling van het geheel’.

Met dat gegeven werkt bijvoorbeeld Maurice de Hond. Hij ondervraagt 1500 mensen naar hun politieke voorkeur en gaat er vanuit dat de verhouding van voorkeuren landelijk hetzelfde is.

Druk(kers)fout

De drukker werkte weliswaar met dezelfde vooronderstelling, maar zijn beginwaarde was niet goed (geen redelijke steekproef). Bovendien hield hij geen rekening met enkele bijkomende factoren. Zoals het feit dat niemand een hele dag aan een stuk geconcentreerd kan plakken en dat drie jongens natuurlijk ook nog eens een dolletje maken tussendoor.

Eén meter

Gisteren zaten we met een paar vrienden bij elkaar. Tom legde een vraag voor die leek op een wet van de grote getallen.

‘Stel je hebt een touw zo lang als de omtrek van de aarde. Je omspant daarmee precies de gehele aarde, waardoor het touw strak tegen de aarde ligt. Nu verleng je het touw met 1 meter. Als je het touw weer om de aarde spant, hoeveel centimeter steekt het dan uit boven de aarde.’

We waren niet zo flauw de praktische kant er van te benoemen, al die paaltjes die nodig zouden zijn het touw boven de aarde te brengen. We begrepen het probleem. De aarde heeft een omtrek van 40.075 kilometer. Dat is 40.075.000 meter, oftewel ruim 40 miljoen meter.

Eén meter zou daar nauwelijks invloed op hebben dachten we allemaal. Het touw zou gewoon tegen de aarde blijven liggen. Immers, als je de ene meter verdeelt over de 40 miljoen meter krijgt elke bestaande meter omtrek minder dan een duizendste millimeter van de extra meter. Het lijkt beredenerend een probleem van de wet van de grote getallen.

Verrassend

Het antwoord 16 centimeter was dan ook een verrassing. Als je dus een touw, met een lengte van de omtrek van de aarde met één meter verlengt en om de aarde wikkelt dan steekt het over de gehele omtrek van de aarde 16 centimeter uit. Het lijkt niet juist. En als Christo de aarde nog eens gaat inpakken met zo’n touwtje dan zal dat in de praktijk waarschijnlijk ook blijken.

Een berekening

Maar bij een berekening zoals we die op school leerden, komen we inderdaad op 16 centimeter.

De opgegeven omtrek van de aarde is 40.075 km, oftewel 40.075.000 meter

Dat is dus ook de lengte van het touw. Doen we er 1 meter extra touw bij, dan krijgen we een lengte touw van 40.075.001 meter.

Met de formule van omtrekberekening van een cirkel (Pi x diameter oftewel pi x 2 x de straal) zijn de diameters te berekenen.

Pi is: 3,141592653589793238462643383279…. voor het gemak breng ik dat terug naar 3,1415926 (meestal wordt 3,14 gebruikt. We hebben het hier over de wet van de grote getallen, dus neem ik een wat langere pi).

Toepassing van de formule geeft een diameter van de aarde van 12.756.268,9064139 en van het nieuwe touw van 12756269,22472379

Het verschil is 0,318309 gedeeld door 2 (de straal) is 0,1592 meter (oftewel bijna 16 cm).